Corso di Laurea in Informatica Linguaggio e Metodi della Matematica: Prova scritta del 6 Nov. 2002

COGNOME E NOME

MATRICOLA  CORSO  AULA

Firma

Nota: Giustificare le risposte.

Esercizio 1.

• Stabilire se la seguente formula è o no una tautologia: [A → (B ∨ C) ∧ (¬B ∧ ¬C)] → ¬A.

• Stabilire se Q è conseguenza logica di (P → Q) ∧ (¬P → Q). Esercizio 2. Si considerino le seguenti 5 formule ed i seguenti 5 enunciati.

1. ∀x ∈ ℝ (x > 0 → f(x) ≠ 0). a. La funzione f assume un valore non positivo sul numero 0.
2. ∀x ∈ ℝ (f(x) ≤ 0 → x = 0). b. La funzione f si annulla su qualche numero positivo.
3. ∃x ∈ ℝ(f(x) < 0 ∧ x < 0). c. Su qualche numero diverso da zero, la funzione f assume valori non positivi.
4. ∀x ∈ ℝ (f(x) > 0 → x ≠ 0). d. La funzione f non si annulla mai su numeri reali positivi.
5. ∃x ∈ ℝ (f(x) = 0 ∧ x > 0). e. C’è un numero non negativo la cui immagine mediante f è un numero positivo.

• Individuare, se ve ne sono, le coppie costituite da una formula ed un enunciato aventi lo stesso significato (per ogni coppia specificare il numero della formula e la lettera dell’enunciato corrispondente).

• Individuare, se ve ne sono, le coppie di formule che sono una equivalente alla negazione dell’altra (per ogni

coppia di formule specificare i due numeri corrispondenti). Esercizio 3. Si considerino le seguenti funzioni:

1. f : ℤ → ℤ definita da f(x) = 3x + 5 per ogni x ∈ ℤ;

2. g : ℝ → ℝ definita da g(x) = 3x + 5 per ogni x ∈ ℝ;

3. h : ℝ → ℝ definita da h(x) = x^{2} + 7 per ogni x ∈ ℝ;

4. φ : ℝ → ℝ è la funzione composizione di g con h, cioè φ = h ∘ g.

• Stabilire se le funzioni f, g, h e φ siano iniettive, surgettive o biunivoche e, nei casi possibili, determinare l’inversa della funzione;

• Determinare l’immagine di h, cioè l’insieme {y ∈ ℝ | ∃x ∈ ℝ h(x) = y};

• Determinare le controimmagini di y = 8 mediante φ, cioè l’insieme {x ∈ ℝ | φ(x) = 8}. Esercizio 4. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, vale l’uguaglianza

3 · \frac{5}{2} + 3 · (\frac{5}{2})^{2} + 3 · (\frac{5}{2})^{3} + ... + 3 · (\frac{5}{2})^{n} = \frac{5 · (5^{n} − 2^{n})}{2^{n}}

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Nota: Giustificare le risposte.

Esercizio 1.

• Stabilire se la seguente formula è o no una tautologia: [C → (A ∨ B) ∧ (¬A ∧ ¬B)] → ¬C.

• Stabilire se P è conseguenza logica di proposizione (Q → P) ∧ (¬Q → P). Esercizio 2. Si considerino le seguenti 5 formule ed i seguenti 5 enunciati.

1. f(0) > 0.  a. Su tutti i numeri diversi da zero, la funzione f assume valori positivi.
2. ∀x ∈ ℝ (x > 0 → f(x) ≠ 0). b. C’è un numero non negativo la cui immagine mediante f è un numero positivo.
3. ∀x ∈ ℝ (f(x) > 0 → x < 0). c. Ci sono numeri negativi dove la funzione f assume valori negativi.
4. ∀x ∈ ℝ (f(x) ≤ 0 → x = 0). d. La funzione f assume valori positivi solo su numeri negativi.
5. ∃x ∈ ℝ (x ≥ 0 ∧ f(x) > 0). e. La funzione f si annulla su qualche numero positivo.

• Individuare, se ve ne sono, le coppie costituite da una formula ed un enunciato aventi lo stesso significato (per ogni coppia specificare il numero della formula e la lettera dell’enunciato corrispondente).

• Individuare, se ve ne sono, le coppie di formule che sono una equivalente alla negazione dell’altra (per ogni

coppia di formule specificare i due numeri corrispondenti). Esercizio 3. Si considerino le seguenti funzioni:

1. f : ℤ → ℤ definita da f(x) = 4x + 5 per ogni x ∈ ℤ;

2. g : ℝ → ℝ definita da g(x) = 4x + 5 per ogni x ∈ ℝ;

3. h : ℝ → ℝ definita da h(x) = x^{2} + 6 per ogni x ∈ ℝ;

4. φ : ℝ → ℝ è la funzione composizione di g con h, cioè φ = h ∘ g.

• Stabilire se le funzioni f, g, h e φ siano iniettive, surgettive o biunivoche e, nei casi possibili, determinare l’inversa della funzione;

• Determinare l’immagine di h, cioè l’insieme {y ∈ ℝ | ∃x ∈ ℝ h(x) = y};

• Determinare le controimmagini di y = 7 mediante φ, cioè l’insieme {x ∈ ℝ | φ(x) = 7}. Esercizio 4. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, vale l’uguaglianza

2 · \frac{4}{7} + 2 · (\frac{4}{7})^{2} + 2 · (\frac{4}{7})^{3} + ... + 2 · (\frac{4}{7})^{n} = \frac{8 · (7^{n} − 4^{n})}{3 · 7^{n}}

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Nota: Giustificare le risposte.

Esercizio 1.

• Stabilire se la seguente formula è o no una tautologia: [P → (Q ∨ R) ∧ (¬Q ∧ ¬R)] → ¬P.

• Stabilire se A è conseguenza logica di (B → A) ∧ (¬B → A). Esercizio 2. Si considerino le seguenti 5 formule ed i seguenti 5 enunciati.

1. ∀x ∈ ℝ (f(x) ≥ 0 ∨ x ≥ 0). a. Su qualche numero diverso da zero, la funzione f assume valori non positivi.
2. ∃x ∈ ℝ(x ≠ 0 ∧ f(x) ≤ 0). b. La funzione f assume un valore positivo sul numero 0.
3. ∀x ∈ ℝ (f(x) > 0 → x ≠ 0). c. Su tutti i numeri diversi da zero, la funzione f assume valori positivi.
4. ∀x ∈ ℝ (f(x) ≤ 0 → x = 0). d. Non ci sono numeri reali negativi sui quali f assume valori negativi.
5. ∃x ∈ ℝ (f(x) = 0 ∧ x > 0). e. C’è un numero non negativo la cui immagine mediante f è un numero positivo.

• Individuare, se ve ne sono, le coppie costituite da una formula ed un enunciato aventi lo stesso significato (per ogni coppia specificare il numero della formula e la lettera dell’enunciato corrispondente).

• Individuare, se ve ne sono, le coppie di formule che sono una equivalente alla negazione dell’altra (per ogni

coppia di formule specificare i due numeri corrispondenti). Esercizio 3. Si considerino le seguenti funzioni:

1. f : ℤ → ℤ definita da f(x) = 3x + 4 per ogni x ∈ ℤ;

2. g : ℝ → ℝ definita da g(x) = 3x + 4 per ogni x ∈ ℝ;

3. h : ℝ → ℝ definita da h(x) = x^{2} − 3 per ogni x ∈ ℝ;

4. φ : ℝ → ℝ è la funzione composizione di g con h, cioè φ = h ∘ g.

• Stabilire se le funzioni f, g, h e φ siano iniettive, surgettive o biunivoche e, nei casi possibili, determinare l’inversa della funzione;

• Determinare l’immagine di h, cioè l’insieme {y ∈ ℝ | ∃x ∈ ℝ h(x) = y};

• Determinare le controimmagini di y = 6 mediante φ, cioè l’insieme {x ∈ ℝ | φ(x) = 6}. Esercizio 4. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, vale l’uguaglianza

4 · \frac{5}{3} + 4 · (\frac{5}{3})^{2} + 4 · (\frac{5}{3})^{3} + ... + 4 · (\frac{5}{3})^{n} = \frac{10 · (5^{n} − 3^{n})}{3^{n}}

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Nota: Giustificare le risposte.

Esercizio 1.

• Stabilire se la seguente formula è o no una tautologia: [R → (P ∨ Q) ∧ (¬P ∧ ¬Q)] → ¬R.

• Stabilire se B è conseguenza logica di proposizione (A → B) ∧ (¬A → B),. Esercizio 2. Si considerino le seguenti 5 formule ed i seguenti 5 enunciati.

1. ∃x ∈ ℝ (f(x) = 0 ∧ x > 0). a. C’è un numero non negativo la cui immagine mediante f è un numero positivo.
2. ∀x ∈ ℝ (f(x) > 0 → x ≠ 0). b. Ci sono numeri negativi dove la funzione f assume valori negativi.
3. ∃x ∈ ℝ(f(x) < 0 ∧ x < 0). c. La funzione f si annulla su qualche numero positivo.
4. ∀x ∈ ℝ (f(x) > 0 → x < 0). d. Non ci sono numeri reali negativi sui quali f assume valori negativi.
5. ∀x ∈ ℝ (f(x) ≥ 0 ∨ x ≥ 0). e. Su tutti i numeri diversi da zero, la funzione f assume valori positivi.

• Individuare, se ve ne sono, le coppie costituite da una formula ed un enunciato aventi lo stesso significato (per ogni coppia specificare il numero della formula e la lettera dell’enunciato corrispondente).

• Individuare, se ve ne sono, le coppie di formule che sono una equivalente alla negazione dell’altra (per ogni

coppia di formule specificare i due numeri corrispondenti). Esercizio 3. Si considerino le seguenti funzioni:

1. f : ℤ → ℤ definita da f(x) = 5x + 6 per ogni x ∈ ℤ;

2. g : ℝ → ℝ definita da g(x) = 5x + 6 per ogni x ∈ ℝ;

3. h : ℝ → ℝ definita da h(x) = x^{2} + 9 per ogni x ∈ ℝ;

4. φ : ℝ → ℝ è la funzione composizione di g con h, cioè φ = h ∘ g.

• Stabilire se le funzioni f, g, h e φ siano iniettive, surgettive o biunivoche e, nei casi possibili, determinare l’inversa della funzione;

• Determinare l’immagine di h, cioè l’insieme {y ∈ ℝ | ∃x ∈ ℝ h(x) = y};

• Determinare le controimmagini di y = 13 mediante φ, cioè l’insieme {x ∈ ℝ | φ(x) = 13}. Esercizio 4. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, vale l’uguaglianza

2 · \frac{8}{3} + 2 · (\frac{8}{3})^{2} + 2 · (\frac{8}{3})^{3} + ... + 2 · (\frac{8}{3})^{n} = \frac{16 · (8^{n} − 3^{n})}{5 · 3^{n}}